数学与应用数学专业《专业综合》考试大纲

一、考试课程：

1．《高等代数》（总分60分）。

2．《数学分析》（总分90分）。
二、考核目标 

高等代数和数学分析是是数学与应用数学专业的两门门专业必修课，属基础主干课程、

也是学位课程，是学习其它数学学科和其它现代科学学科的必备基础。这两门课程提供了数学专业学习必需的基本知识和研究方法，是复变函数、实变函数、泛函分析、近世代数、初等数论等数学专业后继课程的学习基础。通过这两门课程的学习，使学生掌握高等代数和数学分析的基本内容和方法，为后续课程打下良好的基础；为培养学生的严谨的数学思维能力和探索能力提供必要的训练；深入地理解高等代数和数学分析的基本概念和基本理论，掌握典型的代数和分析方法，使学生初步具备应用高等代数和数学方法分析问题和解决问题的能力。

三、考核内容 

1、高等代数

第二章  行列式

【考核内容】

1．n级排列、逆序数、偶（奇）排列、对换、排列的奇偶性；

2．一般行列式的定义、n级行列式的性质；

3．行列式的变换、行列式计算；

4．行列式按一行展开的性质、展开性质的应用；

5．Cramer法则、Laplace 定理、行列式乘法法则；

【考核要求】

1．掌握n阶行列式的概念与性质；

2．学会用行列式的性质熟练地计算行列式；

3．掌握Cramer法则、Laplace 定理。

第三章  线性方程组

【考核内容】

1．消元法、方程组的初等变换、方程组的有解判别；

2．n维向量概念、n维向量的运算、线性组合、向量组等价、线性相关（无关）、线性相关性的判定、极大线性无关组及向量组的秩；

3．矩阵秩的求法；

4．线性方程组有解判定定理、线性方程组解的求法、齐次线性方程组解的结构、一般线性方程组解的结构、线性方程组解的几何意义；

5．两个多项式的结式、二元高次方程组的解法。

【考核要求】

1．理解消元法与矩阵初等变换的关系，能熟练地运用消元法求解一般的线性方程组；

2．正确理解和掌握矩阵的秩的概念，能熟练地运用矩阵的初等变换求矩阵的秩；

3．掌握线性方程组有解的判定定理及其应用；

4．能熟练地求齐次线性方程组的基础解系；

5．掌握一般线性方程组在有解的情况下解的结构；

6．掌握n个未知量n个方程的齐次线性方程组存在非零解的充要条件。

第四章  矩阵

【考核内容】

1．矩阵的概念、矩阵的运算、矩阵乘积的行列式与秩；

2．可逆矩阵、可逆矩阵的性质、可逆矩阵的两个应用；

3．矩阵的分块、分块矩阵的乘积、分块矩阵的应用；

4．逆矩阵的求法、分块乘法的初等变换。

【考核要求】

1．掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置及其运算规律，并能熟练地运用；

2．掌握矩阵可逆的概念及其判定方法；

3．熟悉和掌握矩阵乘积的行列式及其秩的定理；

4． 掌握初等矩阵的概念、初等矩阵与初等变换的关系以及用初等变换求逆矩阵的方法。

第五章 二次型

 【考核内容】

1．二次型及其矩阵表示；

2．标准形；

3．唯一性；

4．正定二次型。

【考核要求】

1．掌握二次型的矩阵、矩阵的合同、标准形、规范形、正(负)定和半正(负)定等概念及性质；

2．掌握化二次型为标准形的方法；掌握惯性定理；熟练掌握正定二次型及半正定二次型的等价条件。

第六章 线性空间

 【考核内容】

1. 集合与映射；

2. 线性空间的定义与简单性质；

3. 维数 基 坐标；

4. 基变换于坐标变换；

5. 线性子空间；

6. 子空间的交与和；

7. 子空间的直和。

【考核要求】

1．理解向量空间的概念及其简单性质，初步理解公理化的思想方法，熟悉常见的向量空间；

2．掌握子空间的概念和判别方法；理解生成的子空间的概念，学会子空间的交与和概念；正确理解向量的线性组合及向量组等价概念；

3．学会向量组的线性相关、线性无关概念及判别方法；

4．学会向量组的极大无关组和秩的概念及求法；

5．掌握向量空间的维数与基的概念及其求法；

6．学会维数公式，理解基的扩充定理；理解子空间的和是直和的概念；

7．掌握子空间的和是直和的充要条件；

8．正确理解向量空间中向量坐标的概念及其意义、基变换及坐标变换公式、过渡矩阵的概念及其性质。

第七章  线性变换

 【考核内容】

1． 线性变换的定义；

2． 线性变换的运算；

3． 线性变换的矩阵；

4． 特征值与特征向量；

5． 对角矩阵；

6． 线性变换的值域与核；

7． 不变子空间。

【考核要求】

1．正确理解线性变换的定义，会判别一个变换是不是线性变换；

2．学会线性变换的简单性质，理解线性变换的值域、核的概念；

3．学会线性变换的加法、数量乘法、乘法及其简单性质；

4．理解线性变换的矩阵的概念，并能熟练地求出线性变换在给定基下的矩阵；

5．学会矩阵相似的概念及其基本性质；

6．理解不变子空间的定义；会判定一个子空间是否是σ-子空间；

7．掌握不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系；理解特征值和特征向量的概念并且学会其求法；

8．理解特征子空间、特征多项式的概念、特征多项式的性质；

9．掌握线性变换(矩阵)可以对角化的条件及化简方法。

2、数学分析

第一章  实数集与函数

【考核内容】

1．实数分类、实数的性质（对四则运算的封闭性、有序性、阿基米德性、稠密性）、绝对值与不等式；

2．区间、邻域、数集、确界原理；

3．函数表示法、函数四则运算、复合函数、反函数、初等函数；

4．有界函数、单调函数、奇函数、偶函数、周期函数。

【考核要求】

1．熟练掌握实数域及性质；

2．掌握几个常用的不等式；

3．熟练掌握邻域、上确界、下确界以及确界原理；

4．牢固掌握函数的复合法则、基本初等函数、初等函数及某些特性（单调性、周期性、奇偶性、有界性等）。

第二章  数列极限

【考核内容】

1．数列极限的“”定义及其几何意义、无穷小数列；

2．收敛数列的唯一性、有界性、保号性、不等式性、迫敛性、四则运算法则；

3．单调有界定理、柯西收敛准则。

【考核要求】

1．熟练掌握数列极限“”定义；

2．掌握收敛数列的若干性质；

3．掌握数列收敛的条件（单调有界原理、迫敛法则、柯西准则等）。

第三章  函数极限

【考核内容】

1．函数极限概念的“”、“”定义，单侧极限及其与极限的关系；

2．函数极限的唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性、迫敛性、四则运算法则；

3．函数极限的单调有界定理、归结原则、柯西准则；

4．掌握两个重要的极限；

5．无穷小量和无穷大量的比较。

【考核要求】

1．熟练掌握使用函数极限“”“”的概念；

2．掌握函数极限的若干性质；

3．掌握函数极限存在的条件（归结原则，柯西准则，左、右极限、单调有界等）；

4．熟练应用两个重要的极限；

5．能掌握无穷小（大）的定义、性质、阶的比较。

第四章  函数的连续性

【考核内容】

1．函数在一点连续（左、右连续）及间断点的概念、间断点的分类；

2．连续函数的局部有界性、局部保号性，连续函数的四则运算及复合函数的连续性；

3．闭区间上连续函数的最值性、介值性、根的存在性定理，反函数的连续性、初等函数的连续性、一致连续性。

【考核要求】

1．熟练掌握在点连续的定义和等价定义；

2．熟练掌握间断点及其分类；

3．熟练掌握在一点连续性质及在区间上连续性质；

4．熟练掌握初等函数的连续性。

第五章  导数和微分

【考核内容】

1．平面曲线切线与瞬时速问题、导数定义、单侧导数、导数的几何意义、导函数；

2．导数的四则运算、反函数的导数、复合函数的导数；

3．微分的概念、微分的四则运算、一阶微分形式不变性、近似计算与误差估计；

4．高阶导数与高阶微分、参数方程和隐函数求导法。

【考核要求】

1．熟练掌握导数的定义，几何、物理意义；

2．掌握并熟练应用求导法则、求导公式；

3．会求各类函数的导数（复合、参量、隐函数、幂指函数、高阶导数（莱布尼兹公式）；

4．掌握微分的概念，并会用微分进行近似计算；

5．掌握一元函数连续、可导、可微之间的关系。

第六章  微分中值定理及应用

【考核内容】

1．费马定理、罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；

2．型不定式极限、型不定式极限、其它类型不定式极限；

3．函数的单调性与极值；

4．函数的凸凹性与拐点；

5．函数图象的讨论。

【考核要求】

1．牢固掌握微分中值定理并会灵活应用；

2．会用洛比达法则求极限，会将其他类型的不定型转化为和型；

3．掌握单调与符号的关系，并用它证明单调，不等式、求单调区间、极值等；

4．掌握凸函数概念及性质，利用判定凹凸性及拐点；

5．能通过一定的计算进行函数图象的讨论。

第七章  实数的完备性

【考核内容】

确界原理、闭区间套定理、柯西收敛准则、聚点定理、致密性定理、有限覆盖定理、单调有界定理。

【考核要求】

1．了解下列基本概念：区间套、聚点、覆盖与有限覆盖、子列的概念；

2．了解实数完备性的六个等价定理的结论。

第八章  不定积分

【考核内容】

1．原函数、不定积分、基本积分表、不定积分的线性运算法则。

2．第一换元积分法、第二换元积分法、分部积分法；

3．有理函数的积分、三角函数有理式的积分、某些简单无理函数的积分。

【考核要求】

1．掌握原函数与不定积分的概念，记住基本积分公式；

2．熟练掌握换元积分法、分部积分法；

3．熟练掌握有理函数积分步骤，并会求可化为有理函数的积分。

第九章  定积分

【考核内容】

1．定积分的定义、函数的可积条件（必要条件，可积准则，可积函数类（三个充分条件））；

2．定积分的线性性质、区间的可加性、单调性、绝对可积性等性质，积分中值定理；

3．变上限积分函数概念与性质，牛顿-莱布尼茨公式、换元积分法、分部积分法。

【考核要求】

1．掌握定积分定义、性质、可积条件，会利用定义进行一些数列极限的计算

2．熟练掌握微积分基本定理、积分中值定量，并会加以应用；

3．会熟练计算定积分；

4．掌握定积分的变换及其一定的应用。

第十章  定积分应用

【考核内容】

1．平面图形的面积、函数的平均值；

2．由截面面积求立体体积、旋转体体积；

3．曲线的弧长；

4．旋转曲面的面积；

5．微元法思想及应用。

【考核要求】

1．要求能熟练计算各种平面图形面积；

2．会由截面面积求立体体积，以及旋转体的体积；

3．会利用定积分求孤长、旋转体的侧面积；

4．微元法思想及应用。

第十二章  数项级数

【考核内容】

1. 级数的收敛性；

2. 正项级数；

3. 一般项级数。

【考核要求】

1．理解数项级数收敛的概念和绝对收敛级数的性质；

2．了解级数收敛的必要条件；熟练掌握正项级数的比较判别法，比式判别法，根式判别法；

3．掌握交错级数收敛的条件；

4．一般项级数的Dirichlet判别法和Abel判别法等。

第十四章 幂级数

1. 【考核内容】

2. 幂级数的概念；

3. 函数的幂级数展开。

【考核要求】

1．掌握幂级数的收敛区间的求法以及幂级数的性质；能够将一些简单函数展开为幂级数；

2．会求常见幂级数的和函数和收敛半径、收敛区域。

第十七章 多元函数微分学

【考核内容】

1. 可微性；

2．复合函数微分法；

3．方向导数与梯度；

4．泰勒公式与极值问题。

【考核要求】

1．掌握二元函数的偏导数及全微分的定义，并能熟练地求多元函数的导数及高阶偏导数；

2．能熟练地求多元函数的导数及高阶偏导数；

3．掌握方向导数和梯度的概念，并会求函数对方向导数；

4．会求二元函数的极值。

第二十章  曲线积分

【考核内容】

1. 第一型曲线积分；

2．第二型曲线积分。

【考核要求】

1．理解并掌握第一型曲线积分的概念、性质、计算；

2．理解并掌握第二型曲线积分及其性质、计算方法；

3．了解两类曲线积分之间的联系及其区别。

第二十一章  重积分

【考核内容】

1．二重积分概念；

2．直角坐标系下二重积分计算。

【考核要求】

1．掌握重积分的概念、可积条件、性质等；会用累次积分的方法计算二重积分；

2．能够根据积分区域和被积函数的特征进行适当的变量替换，特别是熟练的掌握极坐标替换。

四、考试方式 

考核方式：考试

考核类型：闭卷

五、考试时长：120分钟

六、考试题型

1．单项选择题：7小题，每题4分，共28分。

2．填空题：8小题，每题4分，共32分。

3．计算题：共6题，前三题每题10分，后三题每题15分，共75分。

4．证明题：共1题，每题15分，共15分。

七、参考教材 

1．北京大学数学系编(王萼芳、石生明修订).《高等代数》(第五版) [M]. 北京：高等教育出版社，2019。

2．华东师范大学数学科学学院. 数学分析（第五版）上、下册[M]. 北京：高等教育出版社, 2019。